Jednou z nejvíce známých a diskutovaných optických vad je bezesporu otvorová vada, jinak také známá jako sférická aberace. Jedná se o typickou hru světelných paprsků, které vytváří podivnou trojku. Závažné vlastnosti má tato vada v rámci zobrazení. Její dopad je všudepřítomný a poukazuje na rozmanitý svět přírody. Paprsky světla mají svou zákonitost a nám nezbývá nic jiného než je repsktovat. Poodhalte tajemství této vady...

Zdroj obrázku v úvodu: http://graphics.ucsd.edu/~henrik/images/metalring.jpg

Popis a projevy otvorové vady

Dle předchozího dělení se tato vada projevuje při zobrazení předmětu ležícím na optické ose s užitím monochromatického světla. V rámci osového zobrazení je tato vada jediným zástupcem a právě v jejím osovém charakteru je její největší "škodlivost". Je charakteristická pro sférické plochy a obecně můžeme říci, že nezpůsobuje bodové zobrazení, neboť se paprsky nelámou do jednoho obrazového bodu na optické ose. Jak je uvedeno na Obr. 1, bod X umístěný na optické ose se v rámci paraxiálního prostoru (s < 2°) zobrazí do bodu X´₀. Paprsky, které však dopadají na čočku pod větším úhlem (s > 2°), se s optickou osou neprotnou v bodě X´₀, ale blíže k čočce v bodě X´_h. Míra vzdálenosti průsečíků neparaxiálních paprsků s optickou osou je závislá na dopadové výšce h (resp. úhlu s). Tímto se zavádí pojem otvorová (sférická) vada, která je dána vzdálenosti bodu X´₀ a X´_h (obrazový bod, jenž se zobrazí při dopadové výšce rovnající se účinnému poloměru čočky):  .
Ve většině případů uvažujeme otvorovou vadu podélnou; existuje však i otvorová vada velikosti, kterou nazýváme otvorovou vadou příčnou (Dy´), jejíž velikost je určena kolmou vzdálenosti okrajových paprsků od optické osy. Na obrázku je znázorněná příčná otvorová vada v místě X´₀, takže můžeme psát:  .

Obr. 1: Otvorová vada při zobrazení z konečné vzdálenosti.

Leží-li předmětový bod v nekonečnu, tak se otvorová vada vyjadřuje v závislosti na velikosti dopadové výšky h (úhel s → 0). V rámci paraxiálního prostoru se tak bod zobrazí do ohniska čočky (Gaussovo ohnisko) a se zvětšující se dopadovou výškou se obrazová vzdálenost X´ zmenšuje. Obalová křivka lomených paprsků, se nazývá kaustika (kaustická křivka). Velikost Dx´je tak rovna rozdílu vzdálenosti od vrcholu kaustické křivky (ležícím v F´₀) a bodu X´_h (Obr. 2). 

Obr. 2. Otvorová vada při zobrazení z nekonečné vzdálenosti

Jak bylo uvedeno výše, otvorová vada se vyjadřuje veličinou Dx´ v závislosti na dopadové výšce, Dx´ = f(h) (resp. Dx´ = f(s)). Obr. 3 znázorňuje vznik otvorové vady u bikonvexní čočky s grafem této závislosti. Tvar této závislosti je podobný kaustické křivce, avšak pozor, nejedná se o totéž.

Obr. 3: Otvorová vada na bikonvexní čočce s grafem závislosti.

V praxi se ovšem zavedlo poněkud jiné znázornění. Graf se zrcadlově otáčí o 90° a jeho počátek se umisťuje na optickou osu soustavy do bodu X´₀. Vyplývá tak jednoznačná závislost Dx´ na dopadové výšce (Obr. 4).

Obr. 4: Konvence ve znázornění grafu otvorové vady.

Otvorová vada se projevuje rozostřením obrazu v jeho určité části. Jak je patrno, obrazová rovina protíná optickou osu v jednom místě. Zobrazíme-li bod optickou soustavou zatíženou otvorovou vadou, bude bod zobrazen jako ploška a budeme-li si jej chtít zaostřit, bude se zobrazená ploška zmenšovat nebo zvětšovat (Obr. 5).

Obr. 5: Vliv otvorové vady na zobrazení bodu.

Právě ty paprsky, které protínají optickou osu v místě obrazové roviny vytvářejí ostrý obraz, všechny ostatní paprsky nacházející se před nebo za rovinou působí rozmazaně. Je zde podobná analogie jako s hloubkou pole. Je-li hloubka pole malá, máme zaostřeno pouze na omezenou část prostoru, zbytek je pak neostrý.

Chceme-li optickou vadu korigovat, nabízí se nám několik alternativ. Pokud máme malé nároky na zobrazení, můžeme v oblasti kuželu vytyčeného kaustickou křivkou hledat rovinu, kdy je obraz rovnoměrně neostrý – tato obrazová rovina je zhruba v  1/3 kaustické křivky, neostrost obrazu je tak konstantní v celém rozsahu. Tento způsob je většinou neuspokojivý a přistupuje se ke korekci. Nejjednodušší korekce se nabízí v umístění clony před čočkou, čímž se odkloní periferní paprsky a otvorová vada se tak zmenší. Jak již bylo uvedeno výše, otvorová vada je osového charakteru a tak se ji ani při tomto způsobu korekce nezbavíme. Velikost účinného průměru čočky, jenž je právě určen velikosti clony, je navíc ve velké míře zodpovědná za prostupující světlo. Zmenšování účinného průměru clonou tedy sice zkorigujeme otvorovou vadu, avšak na úkor světelnosti, která je například v oblasti fotografií velice ceněnou veličinou.

Nejúčinnější korekce nám nabízí vhodně zvolené poloměry křivosti (Obr. 6a), rozdělení lomu paprsků na několik ploch (Obr. 6b), užití asférických křivek (Obr. 6c), či kombinace několika čoček různých vlastností. Užitím asférických křivek dosáhneme, kromě korekce zklenutí, značného zmenšení otvorové vady, je to ale vždy spojeno se značnými finančními náklady.

Obr. 6: Korekce otvorové vady pomocí vhodně zvolených poloměrů křivosti (nahoře), pomocí rozdělení na několik lomivých ploch (uprostřed) a pomocí asférického desihnu (dole).

Určitý prostor pro korekci nám dávají Fresnelovy čočky, jejichž koncentrická konstrukce projev otvorové vady eliminuje (použití této čočky není však nejideálnější). Poslední varianta korekce, kombinace různých druhů čoček, se zdá být nejefektivnější a s velmi dobrými výsledky. Na Obr. 7 jsou znázorněny čtyři druhy čoček a jejich průběhy otvorových vad. Z obrázků je patrné, že otvorová vada je ve velké míře ovlivňovaná orientací a velikostí lámavých ploch. U spojných čoček je průběh otvorové vady příznivější, je-li první plocha konvexní (tj. r₁ < r₂). U rozptylných čoček je tomu naopak, první plocha je sice konkávní, ale vztah mezi poloměry křivosti je stejný (také platí r₁ < r₂). Z toho vyplývá, že optimální korekce otvorové vady dosáhneme kombinací spojné a rozptylné čočky s první konkávní plochou (viz také Obr. 8 – klasický korekční dublet kompenzující vadu).

Obr. 7: Znázornění spojných a rozptylných čoček společně s vyjádřením jejich otvorové vady.

Jak je zobrazeno (Obr. 7), plusové čočky mají otvorovou vadu zápornou (Dx´ < 0), minusové čočky naopak kladnou (Dx´ > 0). Chceme-li zkorigovat otvorovou vadu, použijeme takovou kombinaci čoček, kdy se jejich účinky vad vzájemně kompenzují. To také vysvětluje, proč jsou kvalitní objektivy či mikroskopy složeny z tolika optických členů. 

Obr. 8: Klasická ukázka korekčního čočkového dubletu.

Na Obr. 9 je uveden příklad s jednoduchou a dvojnásobnou korekcí  otvorové vady.

Obr. 9: Znázornění jednoduché a dvojnásobné korekce otvorové vady.

Optické systémy jež mají vykorigovanou otvorovou vadu nazýváme aplanáty. Kromě uvedených způsobů korekce samozřejmě existují i jiné systémy, které mají zabudované pohyblivé optické členy a v závislosti na zobrazovací vzdálenosti či typu preparátu mění adaptivně své optické vlastnosti s cílem nejlepšího a nejostřejšího zobrazení.

Otvorová vada a oko

Lidské oko je na otvorovou vadu poměrně dobře „připraveno“. Nejvýraznější vliv na tom má malý průměr zornice (3 – 4 mm), která zastává funkci clony a nejvíce odchylující se periferní paprsky tak nepropustí. Navíc je samotná rohovka asférická, takže i zde můžeme hledat určitou kompenzaci; kladný kompenzační mechanismus rohovky je ale z malé části redukován bikonvexním tvarem nitrooční čočky. Poslední faktor korekce, spojený se sítnicovým vnímáním, je Stiles-Crawfordův efekt. Sítnicový vjem je totiž závislý na úhlu dopadu zobrazovacího paprsku a čím větší je úhel dopadu, tím je paprsek sítnici méně registrován. Sítnice tak potlačuje všechny paprsky odchylující se od směru optické osy. Přes tyto všechny kompenzační mechanismy se otvorová vada nejvíce projevuje při pohledu do dálky. Při akomodaci +1,5 D je oko téměř bez sférické aberace, kdežto při nulové akomodaci (tj. při pohledu do dálky) vzniká dioptrický rozdíl až +0,8 D. Obzvlášť velkého významu u oka nabývá otvorová při sledování velmi jasné plochy (srpek měsíce, vlákno žárovky). Vznikají rozptylové kroužky způsobené otvorovou vadou a jasná plocha se zda větší než ve skutečnosti je. Jedná se o jev zvaný iradiace a jeho důsledkem je, že se stejně velká plocha o vyšším jasu zda větší než stejná plocha s jasem nižším. Charakter otvorové vady poukazuje na větší hodnotu v okrajových částech svého průběhu, takže v systému oko – brýlová čočka můžeme usuzovat na největší manifestaci otvorové vady pro brýlovou čočku při pohledu do stran. V technologii výroby je snaha vyrábět korekční pomůcky s asférickou plochou, které kompenzují nebodový účinek optické plochy. Můžeme se tak setkávat s asférickými brýlovými a kontaktními čočkami.

Matematické vyjádření otvorové vady

Pro matematické vyjádření otvorové vady se musíme zaobírat dvěma typy prostoru, a to prostorem úzce paraxiálním (tzv. prostorem prvního řádu nebo-li Gaussovým prostorem) a prostorem vyšších řádů. Z didaktického hlediska si jako první uvedeme prostor vyššího řádu, neboť jeho redukci a zjednodušením odvodíme vzorce pro vyjádření v paraxiálním prostoru.

Pro vyjádření otvorové vady se sledují paprsky jež dopadají na kulovou plochu v určité dopadové výšce h (resp. pod úhlem s) a v těsné blízkosti optické osy. Budeme tedy sledovat co se děje s obecným poledníkovým paprskem po dopadu na obecnou kulovou plochu, tak jak je na Obr. 10. Veškerá orientace úhlu a úseček je v souladu s znaménkovou konvenci.

Obr. 10: Značení a pravidla při lomu na kulové ploše.

Určení dopadového úhlu

Z DXCA nám vyplývá a = 180° - e, takže zde máme rovnost sin a = sin (180° - e). Jelikož je sinus sudá funkce můžeme psát: sin (-s) = -sin s.

Na základě obecného znění sinovy věty můžeme napsat konečný vztah pro dopadový úhel:

. (1)

Určení úhlu lomu
Úhel lomu je standardně vyjádřen Snellovým zákonem:
(2)

Určení úhlu s´
. (3)

Určení x´
(4)

Pro přechod na další plochu pak platí tyto zákonitosti (Obr. 11):

Obr. 11: Značení a pravidla při lomu na dvou kulových plochách.

(5)

Je-li poloměr křivosti velmi velký lze použít k výpočtu x´ tento vztah:
(6)

Stanovení vztahu pro paraxiální prostor vychází z předpokladu, že sinové hodnoty malého úhlu jsou blízké jmenovité hodnotě samotného úhlu. Jako hranice „malého“ úhlu se považují 2°. Sinus tak malého úhlu se velice blíží úhlu samotnému; podobný předpokladje i pro funkci tangens (např.: arcsin 2° =0,034906 [rad] ; sin 2° = 0,034899). K této redukci se přistupuje proznačné zjednodušení vztahu.

Na základě tohoto předpokladu se ze vztahů (1), (2) a (4) vynechají siny a rovnice se vhodně upraví (vyjde nám všeobecně známá Gaussova rovnice pro zobrazování kulovou plochou):

Vztah upravíme na: (7)

Toto zjednodušení zahrneme do (7) a upravíme za předpokladu, že h → 0:

(8)

Samotné vyjádření otvorové vady začíná vypočtením x´₀ ze vztahu (8). V závislosti na přesnosti křivky se pak zvolí počet paprsků, které dopadají na plochu pod různým dopadovým úhlem a které nám pak dají pomoci vztahu (1) až (5) jednotlivé x´_h1, x´_h2 … x´_hMax. Velikost otvorové vady je pak vyjádřena: XXX, kde index hn označuje číslo sledovaného paprsku. Graf se pak vynáší v souladu s pravidly uvedenými výše.

Zvláštní případ, kdy x → ∞ se projeví jenom ve vztahu (8). Druhý člen vztahu můžeme pro malou hodnotu bez újmy vypustit:
(9)

V případě prostoru vyššího řádu je vhodnější definovat paprsek v závislosti na dopadové výšce h. Vztah pro vyjádření dopadového úhlu pro x → ∞ je:
(10)

Příklad výpočtu otvorové vady

Vypočtěte otvorovou vadu pro brýlovou čočku s obchodním názvem Meniscus UV, výrobce Dioptra Turnov, jenž má index lomu 1,523, středová tloušťka byla změřena 8,85 mm, poloměr křivosti první plochy je 64,7 mm, poloměr křivosti druhé plochy pak 566 mm. Ve fokometru byla naměřena zadní vrcholová lámavost o hodnotě +7,55 D. Výpočet proveďte pro předmětový bod umístěný v nekonečnu a pro dopadovou výšku 32,5 mm.

Pro přehlednost si sepíšeme základní informace uvedené v zadání do tabulky (Tabulka 1); uvedená vrcholová lámavost je redundantní údaj, můžeme jej považovat jako za informační, neboť všechny ostatní vstupní údaje plně určují vlastnosti čočky.

Tabulka 1

Jako první si spočítáme polohu bodu x´_2PP v oblasti paraxiálního prostoru  (tj. h → 0 ). Užijeme k tomu vzorce (9) a (5). První krok je ve vyjádření polohy obrazu po průchodu první plochou:

.

Pro přestup na druhou plochu platí zákonitost (5):
.

Nyní již můžeme vypočítat konečnou polohu paraxiálního obrazu podle (8):
.

Nyní si spočítáme polohu obrazu pro dopadovou výšku h = 0,0325 m s užitím vzorců (1) až (5) a (10). Pro přehlednost je postup výpočtu vhodně umístěn do Tabulky 2:
Tabulka 2

Pro h = 0,0325 tedy vyšlo místo dopadu x´_hMax = 0,11825155702 [m].

Otvorová vada pro tuto čočku tedy je: Dx´= x´_hMax - x´_2PP = - 0,014070443

Její velikost je poměrně velká, je však nutno si uvědomit velikost dopadové výšky, pro jakou byla tato vada počítána. Pro h → 10 mm  je pak  Dx´ < 1 mm.

Použité materiály

1)  POLÁŠEK, J. a kol. Technický sborník oční technik. 1. vydání. Praha: Nakladatelství technické literatury ve Středisku interních publikací, 1974. Kapitola 1., 2. a 6.

2)  ANTON, M.  Refrakční vady a jejich vyšetřovací metody. 2. vydání. Brno: Institut pro další vzdělávání pracovníků ve zdravotnictví, 1993. Kapitola 1. a 2.

3)  RUTRLE, M.  Brýlová optika. 2. vydání. Brno: Institut pro další vzdělávání pracovníků ve zdravotnictví, 1993.

4)  SYNEK, S., SKORKOVSKÁ, Š. Kontaktní čočky. 1. vydání. Brno: Národní centrum ošetřovatelství a nelékařských zdravotnických oborů, 2003. Strana 89.

5)  DIGIMANIE; DVOŘÁK, D.   [online] - Digitální fotoaparát IV: Vady zobrazení. 6.3.2003,  čerpáno 24.1.2005. Dostupný z WWW:
<http://www.digimanie.cz>

6)  WALREE, P. v.   [online] – Spherical aberration.  Čerpáno 24.1.2005. Dostupný z WWW:
< http://www.vanwalree.com/optics/spherical.html>